Page 22 - ตัวอย่าง หนังสือเรียน คณิต ม.5

18

3 ให้ a และ b เป็นจำานวนจริงที่มีรากที่ n และ n เป็นจำานวนเต็มที่มากกว่า 1

.
n √ab = √a √b
n
n

พิสูจน์ จากสมบัติ 1 จะได้ (√a) = a และ (√b) = b
n
n
n
n

จะได้ ab = (√a) (√b) = (√a √b)
n
n
n
n
n
n n

.
ดังนั้น √a √b เป็นรากที่ n ของ ab
n
n
จากสมบัติของค่าหลักของรากที่ n ของ a และ b จะได้
.
.
a n √a 0 และ b √b 0
n
.
.
ดังนั้น (ab)(√a √b) = (a √a)(b √b) 0
n
n
n
n
.
ส่งผลให้ √a √b เป็นค่าหลักของรากที่ n ของ ab
n n
.
นั่นคือ √ab = √a √b
n
n
n
ตัวอย่างที่ 5 หาผลลัพธ์ของจำานวนต่อไปนี้ โดยใช้สมบัติ 3

1. √4a 2 2. √-135
3
.
วิธีทำา 1. √4a 2 = √4 √a 2
= 2|a|

.
2. √-135 = √-27 √5 3 √(-27)(5)
3
3
3
= -3√5
3
4 ให้ a และ b เป็นจำานวนจริงที่มีรากที่ n และ n เป็นจำานวนเต็มที่มากกว่า 1
a
√a
n
n = เมื่อ b ≠ 0
b √b
n

พิสูจน์ จากสมบัติ 1 จะได้ (√a) = a และ (√b) = b
n
n
n
n
√a
n
a
n
จะได้ = (√a) = n √b n
b
(√b)
n
n
n
√a
n
ดังนั้น เป็นรากที่ n ของ
a
b
√b
n
จากสมบัติของค่าหลักของรากที่ n ของ a และ b จะได้
.
.
a n √a 0 และ b √b > 0
n
.
n
ดังนั้น a n √a = a √a 0
b √b b √b
.
n
n
n
ส่งผลให้ √a เป็นค่าหลักของรากที่ n ของ ab
√b
n
a
√a
n
นั่นคือ = เมื่อ b ≠ 0
n
b n √b